НЕПРЕРЫВНО НАЧИСЛЯЕМАЯ ПРОЦЕНТНАЯ СТАВКА

При выводе формулы для теоретической стоимости опционов необходимо задаться какой-то количественной моделью тех условий, в которых совершаются операции с опционами. При этом неизбежно приходится делать ряд упрощающих предположений. Одно из ключевых связано с процентными ставками и состоит в следующем. Вводится понятие безрисковой процентной ставки, единой для всех участников торгов и одинаковой как для привлечения, так и для размещения средств. Кроме того, считается, что временная структура процентных ставок удовлетворяет условию: если Ri=R(Ti)  — годовые процентные ставки для некоторого набора периодов Ti<1 (время в долях года), выраженные в виде простого процента, то существует единая величина r такая, что

e rTi= 1 + Ri Ti (3.1)

для всех i. Из этого следует, в частности, что если для некоторого периода T задана процентная ставка R=R ( T ) , то для любого кратного периода Tn =nT процентная ставка Rn = R(Tn) однозначно определяется по правилу сложных процентов:
enrT = (erT)n = (1+RT)n = 1+R nTn=e rTn

Можно также сказать, что при расчете эффективной годовой процентной ставки Reff по формуле сложных процентов на основании заданных простых процентных ставок Ri=R(Ti) всегда получается одинаковый результат: Reff =er −1. Это предположение, с одной стороны, не лишено оснований и по крайней мере приближенно часто выполняется; с другой, позволяет отвлечься от вопросов, связанных с «короткими» и «длинными» деньгами, поскольку специфические вопросы, связанные с опционами, сами по себе достаточно сложны.

Геометрический смысл параметра r , который называется непрерывно начисляемой процентной ставкой (continuously compounded interest rate), показан на рис. 3.1. Здесь для наглядности параметр r рассчитывается для 6-месячной процентной ставки R = 200% и оказывается равен r = 140%. Экспонента ert подобрана так, чтобы пройти через точку A на прямой 1+ Rt , а прямая 1+ rt — касательная к этой экспоненте в нуле. Смысл непрерывно начисляемой процентной ставки сводится к тому, что для малых T (на практике для одного дня, а в пределе для бесконечно малых T ) величина r дает простой годовой процент, а для больших периодов по предположению рост денежных средств удовлетворяет формуле сложных процентов, то есть происходит непрерывная капитализация дохода.

Экспоненциальная форма представления сложных процентов удобна с математической точки зрения и широко используется в теоретических выкладках при определении стоимости опциона. Также записываются и окончательные результаты. Интересно, однако, что эти выражения (по крайней мере те из них, которые будут встречаться ниже) всегда содержат параметр r в готовых комбинациях erT и e−rT , которые при расчетах можно просто заменить соответственно на правую часть (3.1) и

e−rT= 1/1+RT   (3.2)

Рис. 3.1. Непрерывно начисляемый процент для 6-месячной ставки R=200%

Еще одно предположение, используемое при выводе формулы стоимости опциона, состоит в том, что за время существования опциона процентная ставка r будет постоянной. Принципиально рассуждения не меняются, если считать, что будущая динамика процентной ставки r в этот период заранее известна. Вообще говоря, непрерывно начисляемый процент применяется и в тех случаях, когда предположение (3.1) о временной структуре процентных ставок не выполняется. Тогда необходимо указывать, для какого периода T задан процент r , представляющий собой просто другую форму записи процента R. Процентные ставки r для различных периодов T легко сравнивать, поскольку большему r соответствует бόльшая годовая эффективная процентная ставка.